В “частном режиме”, браузеры хранят cookie или временные файлы (кэш) на диске?

Инкогнито, или "частный просмотр", режимы лучше чем ничего, но не действительно очень хороши. Немного устаревший уже, но это даст Вам некоторую идею [PDF]:

http://crypto.stanford.edu/~dabo/pubs/papers/privatebrowsing.pdf

Internet Explorer, или наименьшее делает, действительно хранил информацию на диске - в папке Windows\Temp. Который приводит меня полагать, что остальная часть их делает также. Для хранения изображений, значков, текста, cookie, флэш-куки, и т.д. в памяти для каждого казались бы неправдоподобными.