Какую программу использовать для хранения моей истории чата онлайн?

Каковы функции, которые Вы хотите? Большинство клиентов должно смочь отредактировать местоположение локальной папки журналов. Если это работает на Вас, то можно рассмотреть бесплатный сервис, такой как Dropbox и хранить файлы там. Они синхронизировались бы онлайн автоволшебно.